学习单元2.3 资金等值计算
2.3.1 学习目标
(1)理解资金等值计算相关公式含义。
(2)掌握资金等值计算相关公式形式。
2.3.2 学习内容
资金等值计算相关公式。
2.3.3 任务实施
资金的基本计算公式中常用的几个符号先加以说明,以便讨论。
P——本金或资金的现值,指相对于基准年(点)的数值；
F——到期的本利和,是指从基准年(点)起至第n年年末的数值,一般称期值或终值；
A——等额年值,是指第1年至第n年的每年年末的一系列等额数值；
G——等差系列的相邻级差值；
i——折现率或利率,常以%计；
n——期数,通常以年数计。
2.3.3.1 一次收付期值公式
已知本金现值P,求n年后的期值F。
设年利率为i,则第1年年末的期值(或称本利和)为：F＝P(1＋i)；第2年年末的本利和为：F＝P(1＋i)×(1＋i)＝(1＋i)2；以此类推,可求出第n年年末的期值为
式中(1＋i)n——一次收付期值因子,或一次收付复利因子,常以符号[F/P,i,n]表示。
一次收付相当于银行的整存整取,见图2.2。
图2.2 一次收付期值
2.3.3.2 一次收付现值公式
已知n年后的期值F,反求现值P。由式(2.1),可得
式中 1/(1＋i)n——一次收付现值因子,或以[P/F,i,n]表示；
i——贴现率或折现率,其值一般与利率相同。
这种把期值折算为现值的方法,称为贴现法或折现法。
2.3.3.3 分期等付期值公式
已知一系列每年年末须储存等额年值A,求n年后的本利和(期值)F。这个问题相当于银行的零存整取。
由图2.3可知,第1年年末储存A,至第n年年末可得期值F1＝A(1＋i)n-1,第2年年末储存A,至第n年年末可得期值F2＝A(1＋i)n-2,…,第(n-1)年年末储存A,至第n年年末可得期值Fn-1＝A(1＋i),第n年年末储存A,则当时只能得Fn＝A,共计到第n年年末的总期值(本利和)F＝F1＋F2＋…＋Fn＝A(1＋i)n-1＋A(1＋i)n-2＋…＋A(1＋i)＋A,或者
图2.3 分期等付期值
上述两式相减,得F(1＋i)-F＝A(1＋i)n-A,移项后得
式中 
——分期等付期值因子,或称等额系列复利因子,常以[F/A,i,n]表示。
2.3.3.4 基金存储公式
设已知n年后需更新机组设备费F,为此须在n年内每年年末预先存储一定的基金A。关于A值的求算,实际上就是式(2.3)的逆运算,即
式中 
——基金存储因子,常以[A/F,i,n]表示。
2.3.3.5 本利摊还公式
设现在借入一笔资金P,年利率为i,要求在n年内每年年末等额摊还本息A,保证在n年后偿清全部本金和利息。
图2.4 本利摊还计算
由图2.4可知,第1年年末偿还本息A,相当于现值P1＝A/(1＋i),第2年年年末偿还本息A,相当于现值P2＝A/(1＋i)2,…,第n年年末偿还本息A,相当于现值Pn＝A/(1＋i)n,在n年内偿还的本息综合相当于现值P＝P1＋P2＋…＋Pn,即
上述两式相减,得
式(2.8)亦可由式(2.4)求得,因F＝P(1＋i)n,故
与式(2.8)相同,式中
称为资金回收因子或本利摊还因子,常以[A/P,i,n]表示。
顺便指出,本利摊还因子为
式中的[A/F,i,n]就是每年须提存的基金存储因子,i就是利率。设已知本金现值为P,则每年还本P[A/F,i,n]和付息Pi,n年后共计还本付息F＝{P[A/F,i,n]＋Pi}[F/A,i,n]＝P(1＋i)n,这相当于n年后一次整付本利和F＝P(1＋i)n。
2.3.3.6 分期等付现值公式
设已知某工程投产后每年年末可获得收益A,经济寿命为n年,问在整个经济寿命期内总收益的现值P为多少?
本命题是已知分期等付年值A,求现值P,可以由式(2.8)进行逆运算求得,即
式中 
——分期等不现值因子,或等额系列现值因子,常以[P/A,i,n]表示。
2.3.3.7 等差系列折算公式
设有一系列等差收入(或支出)0,G,2G,…,(n-1)G分别于第1,2,…,n年年末的期值F、在第1年年初的现值P以及相当于等额系列的年摊还值A。已知年利率为i。
(1)已知G,求F。
由图2.5可知,第n年年末的期值F可用式(2.11)计算。
(2)已知G,求P。
图2.5 等差系列计算
由式(2.2),P＝F/(1＋i)n,代入式(2.11),可得
式中[P/G,i,n]——等差系列现值因子。
(3)已知G,求A。
由式(2.6),
,代入式(2.11),可得
式中[A/G,i,n]——等差系列年值因子。
2.3.3.8 等比级数增长系列折算公式
1.期值F的计算公式
设年递增的百分比为j%,当G1＝1,G2＝(1＋j),…,Gn-1＝(1＋j)n-2,Gn＝(1＋j)n-1。设年利率为i,则n年后的本利和,即期值
式中[F/G1,i,j,n]——等比级数期值因子。
2.现值P的计算公式
根据等比增长系列与等额收付系列的转换,将式(2.10)代入式(2.14),则
式中[P/G1,i,j,n]——等比级数年值因子。
也可以将式(2.3)代入式(2.14),即
2.3.3.9 等比级数减少系列折算公式
1.期值F的计算公式
设每年减少的百分比为j%,当a＝1,则G1＝(1＋j)n-1,G2＝(1＋j)n-2,…,Gn-1＝(1＋j),Gn＝1。设年利率为i,则n年后本利和(期值)为
2.现值P的计算公式
将F＝P(1＋i)n代入式(2.16),则
3.年均值A的计算公式
将式(2.10)代入式(2.17),则
2.3.3.10 一次收付连续计息期值公式
设资金P在dt的单位时间内的利率为i,则资金P在dt时间内的增值dP＝Pidt,当时间t从0到n后资金由P0增值为Pn,则
称为一次收付连续计息期值公式。
称为一次收付连续计息现值公式。
2.3.3.11 分期等付连续计息期值公式
设每年以A元连续均匀地投入资金P中进行扩大再生产,年收益率为i,则在时间dt内,期值为
式中 
——分期等付连续计息期值因子,可用fc表示,则
称为分期等付连续计息期值公式。
或者
称为连续计息基金存储公式。
式中 
——连续计息基金存储因子。
2.3.3.12 分期等付连续计息现值公式
设某企业每年净收益A元,获得后立即投入扩大再生产,年收益率为i,若按连续计息公式计算,现值为
式中 
——分期等付连续计息现值因子,用fP表示。
式(2.24)可改写为
称为分期等付连续计息现值公式。
为了便于比较反映资金时间价值的各个计算公式,现将有关的折算因子汇总列于表2.2。
表2.2 考虑资金时间价值的折算因子表
续表
在上述各个基本计算公式中,有现值P、期值(终值)F、年值A、利率i及经济寿命n(年)等参变数。
2.3.4 案例分析
【例2.1】 已知本金现值P＝100元,年利率i＝12%,求10年后的本利和F为多少?
解：根据式(2.1),F＝P(1＋i)n＝100×(1＋0.12)10＝100×3.1058＝310.58(元)。如果年利率i＝12%不变,但要求每月计息一次,则10年共有120个计息月数,即n＝120,相应的月利率i＝0.12/12＝1%。根据式(2.1),F＝P(1＋i)n＝100×(1＋0.01)120＝100×3.3003＝330.03(元)。
【例2.2】 已知10年后某工程可获得年效益F＝100万元,i＝10%,问相当于现在的价值(现值)P为多少?
解：由式(2.2),P＝F[P/F,i,n]＝F[1/(1＋i)n]＝100×[1/(1＋0.1)10]＝38.554(万元)。
【例2.3】 设每年年末存款100元,年利率i＝10%,第10年年末的本利和(期值)F为多少?
解：根据A＝100元,i＝10%,n＝10年,查附录或由式(2.3)计算的：
即第10年年末可得本利和F＝1593.7元。
【例2.4】 已知25年后水电站需更换机组设备费F＝100万元,在它的经济寿命n＝25年内,问每年年末应提存多少基本折旧基金A?已知i＝10%。
解：
故每年年末应提存基本折旧基金A＝10170元。
【例2.5】 2000年年底借到某工程的建设资金P＝1亿元,规定于2001年起每年年底等额偿还本息A,于2020年年底偿清全部本息,按年利率i＝10%计息,问A为多少?
解：根据式(2.8),n＝20,故
同上,但要求于2011年开始,每年年底等额偿还本息A',仍规定在20年内还清全部本息,i＝10%,问A'为多少?
首先选定2011年年初(即2010年年底)作为计算基准年(点),则根据一次收付期值公式求出2011年年初的本利和P'为
自2011年年底开始,至2030年年底每年等额偿还本息为
【例2.6】 某工程造价折算为现值P＝5000万元,工程投产后每年年末尚需支付年运行费u＝100万元,但每年年末可得收益b＝900万元,已知该工程经济寿命n＝40年,i＝10%,问投资修建该工程是否有利?
解：由式(2.10),可求出该工程在经济寿命期内总收益现值为
包括造价和各年运行费在内的总费用现值C＝P＋u[P/A,i,n]＝5000＋100×9.7797＝5978万元,效益费用比
＝1.47,因B/C＞1,尚属有利。
【例2.7】 设某水电站机组台数较多,投产期长达10年。随着水力发电机组容量的逐年增加,电费年收入为一个等差递增系列,G＝100万元,i＝10%,n＝10年,参阅图2.6。求该水电站在投产期内总效益的现值。
图2.6 水电站总投产期逐年电费收入
解：由于该电站在第1年年末即获得效益A＝100万元,这与图2.6所示的等差系列模式不同,因此必须把这个等差系列分解为两部分：①A＝100万元的分期等付系列；②G＝100万元的等差系列,这样才符合图2.6所示的模式。现分别求这两个系列的现值。
(1)已知A＝100万元,n＝10,i＝10%,根据式(2.10)有
(2)已知G＝100万元,n＝10,i＝10%,根据式(2.12)有
上述两部分合计总效益的现值P＝P1＋P2＝614.46＋2289.2＝2903.66(万元)。
(3)亦可根据下式直接求出P值。
【例2.8】 某水利工程于2001年投产,该年年底获得年效益G1＝200万元,以后拟加强经营管理,年效益将以j＝5%的速度按等比级数逐年递增。设年利率i＝10%,问2010年年末该工程年效益为多少?在2001—2010年的十年内总效益现值P及其年均值A各为多少?
解：(1)根据G1＝200万元及j＝5%,n＝10年,预计该工程在2000年年末的年效益为
(2)根据式(2.15),该工程在2001—2010年的总效益现值为
(3)该工程在2001—2010年的效益年均值为
【例2.9】 某水库于2000年年底建成后年效益为162.9万元,投入运行后由于水库淤积等原因,估计年效益以j＝5%的速度按等比级数逐年递减。假设年利率i＝10%,问2010年年末该水库年效益为多少?在2001—2010年效益递减的十年内总效益现值P及其年均值A各为多少?
解：(1)根据2000年年底水库年效益尚保持为162.9万元,以后逐年递减率j＝5%,预计2010年水库年效益为
(2)根据式(2.17),该水库在2001—2010年的总效益现值为
(3)根据式(2.18),该水库在2001—2010年的效益年均值为
