1.3 度、平均度和度分布

度是节点的一个关键属性，表示该节点和其他节点之间的链接个数。在手机通话网络中，度表示一个人通过手机联系过的人数；在引文网络中，度表示一篇论文获得的引用数。

度

我们使用ki表示网络中第i个节点的度。例如，对于图1-2所示的无向网络，我们有k1=2，k2=3，k3=2，k4=1。在无向网络中，总链接数L可以使用节点度之和来表示：

在计算节点度之和时，每个链接被计算了两次，因此公式1.1中有一个系数1/2。例如，在图1-2中，连接节点2和节点4的链接，在计算节点2的度时被计算了一次，在计算节点4的度时又被计算了一次。

平均度

平均度是网络的一个重要属性（边栏1.2）。在无向网络中，平均度被定义为：

边栏1.2

统计知识简要回顾

对于N个样本x1,…,xN，4个重要的统计量：

均值：

n阶矩：

标准差：

样本分布：

这里px满足归一化约束

有向网络中，需要区分入度和出度。入度表示指向节点i的链接个数，而出度表示节点i指向其他节点的链接个数。从而，节点i的度为：

例如，在万维网中，网页的出度kout表示该网页指向的网页数目，其入度kin表示指向它的网页数目。有向网络中的总链接数为：

这里不像公式1.1那样有一个系数1/2：公式1.4的两个求和项将出度和入度分开进行计算。有向网络的平均度为：

度分布

度分布pk表示“网络中随机选出的一个节点其度为k”的概率。由于pk是一个概率，则其必须满足归一化约束，即：

对于有N个节点的网络而言，其度分布可以表示成归一化的直方图（图1-3）：

图1-3 度分布

网络的度分布可以由公式1.7计算得到。

（a）该网络大小为N=4，其度分布如图b所示。

（b）4个节点中有一个度为1的节点（k1=1），因此p1=1/4；有两个度为2的节点（k3=k4=2），因此p2=1/2；有一个度为3的节点（k2=3），因此p3=1/4。没有度大于3的节点，因此，对于任意k>3，我们有pk=0。

（c）对于一维格子网络而言，所有节点的度都是2。

（d）图c所示网络的度分布是克罗内克（Kronecker）的德尔塔函数，即pk=δ(k-2)。

这里的Nk是指度为k的节点个数。因此，度为k的节点个数可以根据度分布计算出来，即Nk=Npk。

度分布被认为在网络科学中发挥了核心作用，特别是在无标度网络被发现之后[8]。其中一个原因是，大多数网络性质可以通过度分布计算得到。例如，网络平均度可以写成：

另一个原因是，度分布的具体函数形式决定着很多网络现象，例如网络健壮性和病毒传播。接下来，让我们看一看真实网络中有着怎样的度分布（图1-4）。

图1-4 一个真实网络的度分布

真实网络中，节点的度差异很大。

（a）酵母的蛋白质相互作用网络（表1-1）。每个节点对应一个酵母蛋白质，链接表示实验发现的蛋白质间的相互作用。注意，底部所示的几个蛋白质有自环，它们的度为2。

（b）图a所示的蛋白质相互作用网络的度分布。节点的度分布在0（对应孤立节点）和92（对应度最大的那个节点，此类节点通常被称为枢纽节点）之间。度不同的节点，其个数也差异很大：度为1的节点有几乎一半（p1=0.48），而只有一个节点的度为92（p92=1/N=0.0005）。

（c）度分布通常画在双对数坐标下。当然，除了采用双对数坐标之外，也可以直接绘制lnpk关于lnk的函数。采用双对数坐标的好处会在第3章进行讨论。